问题:
设 $X$ 是赋范线性空间，$x_1, x_2, \cdots, x_k$ 是 $X$ 中 $k$ 个线性无关向量，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$是一组数，证明：在 $X$ 上存在满足下列两条件：
（1）$f\left(x_v\right)=\alpha_v, v=1,2, \cdots, k$ ，
（2）$\|f\| \leq M$ 的线性泛函 $f$ 的充要条件为：对任何数 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ，
$$
\left|\sum_{v=1}^k t_\nu \alpha_v\right| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_\nu x_v\right\|
$$
都成立．
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
)
由于 $x_1, x_2, \cdots, x_k$ 在 $X$ 中线性无关，令
$$
X_0=\operatorname{span}\left\{x_1, x_2, \cdots, x_k\right\}
$$
则 $X_0$ 是 $X$ 的 $k$ 维线性子空间．对任意 $x \in X_0$ ，在数域 $\mathbb{F}$ 中存在唯一的一组 $k$ 元数组 $\left\{t_1, t_2, \cdots, t_k\right\} \subset \mathbb{F}$ ，使得
$$
x=\sum_{v=1}^k t_v x_v
$$
（充分性）设对任意 $t_1, t_2, \cdots, t_k \in \mathbb{F}$ ，都有
$$
\left|\sum_{v=1}^k t_\nu \alpha_v\right| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_v x_v\right\|
$$
定义 $X_0$ 上的泛函 $f_0: X_0 \rightarrow \mathbb{F}$ ，使得对任意
$$
x=\sum_{v=1}^k t_v x_v \in X_0
$$
都有
$$
f_0(x)=\sum_{v=1}^k t_v \alpha_v
$$
显然 $f_0$ 是 $X_0$ 上的线性泛函并且任意 $x \in X_0$ 都有
$$
\left|f_0(x)\right|=\left|\sum_{v=1}^k t_v \alpha_v\right| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_v x_v\right\|=M\|x\|
$$
所以 $f_0$ 还是 $X_0$ 上的有界线性泛函，并且满足
$$
\begin{gathered}
f_0\left(x_v\right)=\alpha_v, \quad v=1,2, \cdots, k \\
\left\|f_0\right\| \leq M
\end{gathered}
$$
由 Hahn－Banach 延拓定理，存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ 使得
（1）对任意 $x \in X_0$ ，都有 $f(x)=f_0(x)$ ，从而
$$
f\left(x_v\right)=f_0\left(x_v\right)=\alpha_\nu, \quad v=1,2, \cdots, k
$$
（2）$\|f\|=\left\|f_0\right\| \leq M$ ．
充分性得证。
（必要性）设存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ 使得
（1）对任意 $x \in X_0$ ，都有
$$
f\left(x_v\right)=\alpha_v, \quad v=1,2, \cdots, k
$$
（2）$\|f\| \leq M$ ．
则对任意 $t_1, t_2, \cdots, t_k \in \mathbb{F}$ ，由 $f$ 的线性和有界性就有
$$
\left|\sum_{v=1}^k t_\nu \alpha_v\right|=\left|\sum_{v=1}^k t_v f\left(x_v\right)\right|=\left|f\left(\sum_{v=1}^k t_\nu x_v\right)\right| \leq\|f\| \cdot\left\|\sum_{v=1}^k t_v x_v\right\| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_v x_v\right\| .
$$
必要性得证。
